Système - D'après bac ES, spé maths, Polynésie, 2017 - Corrigé

Énoncé  

Alex a téléchargé sur son smartphone un jeu lui permettant de combattre des animaux virtuels par localisation GPS. Chaque jour, il retrouve d'autres joueurs dans le parc de la ville dans le but de comparer le nombre de créatures qu'ils ont combattues.

Le premier jour, 8 personnes se sont retrouvées dans le parc. Le deuxième, on comptait 25 personnes er le troisième jour, 80 personnes se sont retrouvées dans le parc.

Soit  \(f\)  la fonction définie par  \(f(x)=ax²+bx+c\)  où  \(a, b\)  et  \(c\)  sont trois nombres réels et  \(x\)  un nombre entier compris entre 1 et 10. On admet que la fonction  \(f\)  modélise le nombre de personnes qui se retrouvent dans le parc le  \(x\) -ième jour.

1. Traduire l'énoncé par un système de trois équations à trois inconnues  \(a, b\)  et  \(c.\)

2. Donner une écriture matricielle de ce système sous la forme  \(AX=B\)  avec  \(X\) la matrice colonne  \(X=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}\) .

3. Soit la matrice  \(M=\begin{pmatrix} 0,5&-1&0,5\\-2,5&4&-1,5\\3&-3&1 \end{pmatrix}\) . Calculer le produit  \(MA\) . Que représente la matrice  \(M\)  pour la matrice  \(A\)  ?

4. À l'aide d'un calcul matriciel, déterminer les valeurs des nombres  \(a, b\)  et  \(c\) .

5. Le parc de la ville a une capacité d'accueil de 2500 personnes. Selon ce modèle, le parc risque-t-il de refuser d'accueillir des personnes un de ces dix jours ? Justifier la réponse.

Solution  

1. Premier jour :  \(a+b+c=8\) .
Deuxième jour :  \(4a+2b+c=25\) .
Troisième jour :  \(9a+3b+c=80\) .
\((a, b, c)\)  est donc solution du système  \(\begin{cases} a+b+c=8\\ 4a+2b+c=25\\9a+3b+c=80 \end{cases}\)

2. Ce système s'écrit sous forme matricielle  \(AX=B\)  avec  \(A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\4&2&1\\9&3&1 \end{pmatrix}\) et  \(B=\begin{pmatrix} 8\\25\\80 \end{pmatrix}\) .

3.  \(MA=I_3\)
\(M\) est l'inverse de  \(A.\)

4. On a donc  \(X=MB\)  , ce qui permet de déterminer  \(a=19, b=-40\)  et  \(c=29\) .

5. Pour répondre à cette question, on peut étudier la fonction polynôme du second degré  \(f(x)=19x²-40x+29\)  sur  \([1 ; 10]\)  ou plus simplement, puisque seules les valeurs entières de  \(x\)  nous intéressent, faire un tableau de valeurs sur la calculatrice.

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline  x & 1& 2& 3& 4& 5&6&7&8&9&10&13\\ \hline  f(x)& 8& 25&80&173&304&473&680&925&1208&1529&2720\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

Comme le montre le tableau de valeurs, il n'y a pas de souci sur les 10 jours prévus. Ce n'est que le treizième jour que le parc n'aura pas la capacité d'accueil suffisante si la modélisation reste valable.